De (très) grands nombres

Nomenclature

.            Jusqu'au billion (1 000 milliards), les grands nombres sont généralement nommés selon deux systèmes :

L'échelle latine courte employée aux USA, et de plus en plus en Grande-Bretagne. Elle était également employée en France au XVIIIe siècle.

L'échelle latine longue employée en Europe continentale, comme en France (ou elle est la seule légale) ou en Belgique.

Pourtant en raison de l'hégémonie commerciale américaine sur le monde, l'échelle courte devient de plus en plus employée au détriment de l'échelle longue.

Les noms des grands nombres (supérieurs au trillion) ne sont pratiquement jamais utilisés, du moins dans un contexte de communication normale. De nombreux systèmes ont été proposés pour nommer de très grands nombres [ Archimède (-288,-212), Nicolas Choquet (~1450-1488), Knuth (1938- ), Rowlett ], mais aucun ne semble avoir eu d'utilité pratique.

.            D’autant plus que les mathématiciens et physiciens préfèrent utiliser la notation scientifique et parler par exemple de « 10 puissance 51 » car cela est sans ambigüité.

.            L'échelle courte donne les noms million, billion, trillion, quadrillion, quintillion, … n-illion, etc ... aux valeurs 106, 109, 1012, 1015, 1018, … 103n+3, etc... C'est-à-dire que chaque valeur est la valeur précédente multipliée par un facteur 1000.

Ex. 47 000 000 000 000 000 = quarante-sept quadrillions.

.            L'échelle longue donne les noms million, billion, trillion, quadrillion, quintillion, n-illion, etc ... aux valeurs 106, 1012, 1018, 1024, 1030, 106n, etc ... C'est-à-dire que chaque valeur est la valeur précédente multipliée par un facteur 1 000 000.

.            La valeur 109 s'appelle toujours milliard dans l'échelle longue, mais rien n'interdit de dire mille millions. Les valeurs intermédiaires 1015, 1021, 1027, 106n+3, etc ... peuvent être exprimées de deux manières, soit on dit mille billions, mille trillions, mille quadrillions, mille n-illions, etc ... soit en copiant sur milliard : billiard, trilliard, quadrilliard, n-illiard, mais ces noms sont à éviter, et il est préférable de n'utiliser que les mots en -illion à l'exception de milliard.

Ex. 47 000 000 000 000 000 = 47 billiards, ou préférablement 47 000 billions.

Nombre Echelle courte Echelle longue
 106 million million
109 billion milliard
1012 trillion billion
1015 quadrillion ou quatrillion billiard
1018 quintillion trillion
1021 sextillion trilliard
1024 septillion quadrillion ou quatrillion
1027 octillion quadrilliard ou quatrilliard
1030 nonillion quintillion
1033 décillion quintilliard
1036 undécillion sextillion
1039 duodécillion ou dodécillion sextilliard
1042 trédécillion septillion
1045 quattordécillion septilliard
1048 quindécillion octillion
1051 sexdécillion octilliard
1054 septendécillion nonillon
1057 octodécillion nonilliard
1060 novemdécillion décillion
1063 vigintillion décilliard
1066 unvigintillion undécillion
1069 d(u)ovigintillion undécilliard
1072 trévigintillion d(u)odécillion
1075 quattuorvigintillion d(u)odécillard
1090 novemvigintillion quindécillion
1093 trigintillion quindécilliard
10123 quadragintillion vigintilliard
10153 quinquagintillion quinvigintilliard
10183 sexagintillion trigintilliard
10213 septuagintillon quintrigintilliard
10243 octogintillion quadragintilliard
10273 nonagintillion quinquadragintilliard
10303 centillion sexagintilliard
10600 cennovemnonagintillion centillion
10603 ducentillion centilliard
10903 trécentillion cenquinquagintilliard
101203 quadringentillion ducentilliard
101503 quingentillion ducenquinquagintilliard
101803 sescentillion trécentilliard
102103 septingentillion trécenquinquagintilliard
102403 octingentillion quadringentilliard
102703 nongentillion quadringenquinquagintilliard
103000 nongennovemnonagintillion quingentillion
 103003 milliatillion ou millillion quingentilliard
106003 d(u)omilliatillion ou d(u)omillilion milliatilliard ou millilliard

 

 

 

 

 

 

.            L'échelle longue ne permet pas vraiment de nommer de manière pratique des puissances de dix supérieures à 1063, ce qui n'est guère gênant en réalité.

Usage des grands nombres

.            Quelques grands nombres ont réellement un sens pour l'homme, et sont d'un usage relativement courant jusqu'au trillion. Au-delà, les noms de grands nombres n'ont plus guère qu'une existence artificielle, dans les définitions mathématiques, et il n'y pas d'occurrence de ces mots dans le langage courant.

Dans l'usage courant, ces grands nombres sont exprimés avec la notation scientifique. Avec cette notation, qui existe depuis les années 1800, les grands nombres sont exprimés par un 10 et un nombre en exposant. On dira par exemple : « L'émission en rayons X de cette radio-galaxie est de 1,3 x 1045 erg ». Le nombre 1045 se lit simplement « 10 puissance 45 » : c'est facile à lire, facile à comprendre, et beaucoup plus parlant que « septilliard » ou « quattuordécillion » (qui présente de plus l'inconvénient de signifier deux choses différentes, suivant que la convention utilisée est l'échelle longue ou courte).

Quand c'est une quantité physique qui doit être désignée, dans le très grand, comme dans le très petit, ce sont les préfixes du système international qui sont préférentiellement utilisés. Il est plus facile de comprendre une «femtoseconde» que «un billiardième » de seconde, dont le sens dépend aussi de l'échelle longue ou courte.

Le Système International (SI), basé sur le système métrique décimal (à base 10), définit 7 unités principales indépendantes du point de vue de leurs dimensions, avec leurs multiples et sous-multiples :

Longueur (m), masse (kg), temps (s), courant électrique (A), température (K), quantité de matière (mol) intensité lumineuse (cd)

Ce n'est donc pas pour leur utilité pratique que les grands nombres sont nommés, mais ils ont de tous temps fasciné ceux qui, perturbés par la notion de l’infini, se sont penchés sur eux en essayant d'appréhender ce que « grand nombre » pouvait bien signifier.

Quelques grands nombres

Le milliard : un petit nombre ?

.             1.000.000, c’est approximativement le nombre de secondes qu’il y a dans 32 ans. Il est inenvisageable pour un être humain de compter jusqu’à 1 milliard. Comme il faut plus de 1 ou davantage de secondes pour prononcer la plupart des nombres au-delà de 1 000, une vie ne suffira pas !

Le Googol (ou Gogol en français)

.            En 1938, Edward Kasner, très connu en cosmologie, cherche un mot pour représenter un nombre très grand, tel que un 1 suivi de 100 zéros. C'est en marchant dans New Jersey Palisades avec ses neveux, Edwin et Milton Sirotta, qu'il leur demande s'ils ont une idée pour nommer un tel nombre. Milton, alors âgé de huit ans, suggère alors un mot enfantin, « googol ».

10100 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Le mathématicien, cherchait en fait un nombre immensément grand pour donner une idée de l’infini. Il était sûr que ce nombre n'était pas infini, et tout aussi certain qu'il n'avait pas de nom propre. Il suggéra le terme « Googol » dans une publication de 1940, Mathematics and the Imagination.

.            Le gogol est approximativement égal à la factorielle de 70, soit 70! (= 1 x 2 x 3 … x 69 x 70, la factorielle d'un entier naturel n étant le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à cet entier). Ses facteurs premiers sont seulement 2 et 5.

Il faut au minimum 334 bits pour représenter ce nombre. En effet :

2333 = 17 498 005 798 264 095 394 980 017 816 940 970 922 825 355 447 145 699 491 406 164 851 279 623 993 595 007 385 788 105 416 184 430 592.

Le gogol n'est pas utilisé scientifiquement, il sert surtout à l'enseignement des mathématiques. Kasner l'a créé afin d'illustrer la différence entre un nombre aussi grand et l'infini.

Gogol, ce nombre entre le très grand et l’infini, accessoirement, a aussi inspiré Sergey Brin et Larry Page, les fondateurs d’un célèbre moteur de recherche. “Par ce jeu de mots, la société Google entend refléter sa mission : organiser l'immense volume d'informations disponibles sur le web”, pouvait-on lire sur une ancienne page de présentation de l’entreprise américaine et Googleplex est le nom du QG de Google à Mountain View en Californie.

Une machine prétend représenter Gogol, un nombre plus grand que les atomes dans l’Univers visible

Daniel de Bruin, a présenté le 01 mars 2020 une machine symbolisant cette valeur.

À chaque roue, la vitesse de rotation est divisée par 10 et l’opération est répétée 100 fois. © Daniel de Bruin

Pour représenter gogol, Daniel de Bruin, un designer néerlandais, a construit une machine qui se compose de dizaines et dizaines d’engrenages. À chaque roue, la vitesse de rotation est divisée par 10 et l’opération est répétée 100 fois. Autrement dit, pour que le dernier rouage fasse un tour, le premier devra tourner “gogol fois”. “Vous aurez besoin de plus d’énergie que n’en possède tout l’univers pour faire cela”, estime l’inventeur.

.            Un gogol est donc énorme, bien supérieur au nombre d'atomes dans notre Univers visible (1080 et des poussières !), puisqu’il faudrait autant d’univers qu’il y a de grains de riz sur l’échiquier de Sissa pour obtenir un nombre équivalent de particules élémentaires.

.            Pourtant Kasner s’est aussi amusé à inventer le gogolplex, beaucoup, et de loin, plus grand qu'un gogol, mais qui reste pourtant fini, ce que l'inventeur du terme fit rapidement remarquer. Au départ, la définition proposée était un 1, suivi d'autant de 0 qu'on pourrait en écrire sans tomber de fatigue. C'est certainement ce qui risquerait d'arriver si quelqu'un essayait d'écrire un gogolplex. Mais comme deux personnes différentes seraient fatiguées au bout d'un temps différent, la définition serait aléatoire et n'aurait pas de sens. Pour cette raison, il fit finalement de son gogolplex un nombre spécifique, mais avec tellement de zéros derrière son « 1 » que le nombre de zéros est lui-même un gogol : soit 1010^100.

En supposant qu’on écrive sans interruption 3 chiffres par seconde, il nous faudrait environ 100 quindécillions (100 x 1090) d’années pour retranscrire intégralement ce nombre, soit 100 milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards d’années !!! Avec le gogolplex, on sort carrément du cadre. Au propre et au figuré. L’astrophysicien Carl Sagan (1934-1996) estimait avec humour et beaucoup de sérieux qu’écrire un tel nombre se heurterait à une impossibilité majeure, l’univers physique connu n’est pas assez grand pour le contenir.

Et effectivement, aucune quantité physique ne peut atteindre ce nombre, autrement dit : il ne sert à rien ! D'autant plus qu'aujourd'hui les grands nombres se notent en écriture scientifique à l'aide de puissances de 10 qui suffisent amplement aux scientifiques !

.            Par la suite, John Conway (1937- ) et Richard Guy (1916-2020)  ont suggéré comme extension qu'un N-plex corresponde par convention à 10N. Avec ce système, un gogol-plex vaut bien 10gogol, et un gogolplex-plex vaut 10gogolplex.

D'autres auteurs ont proposé les formes gogolduplex, gogoltriplex, etc., pour désigner respectivement 10gogolplex, 10gogolduplex, et ainsi de suite.

La fable de Sissa.

.            Une légende des Indes (datant de 1256, par Ibn Khallikan) raconte que le roi Belkib promit une récompense à qui lui proposerait une distraction inédite. Ravi de la présentation par le sage Sissa du jeu d’échecs que celui-ci vient d’inventer, le souverain l’interrogea sur ce qu’il souhaitait en échange. Sissa demanda au roi de poser un grain de riz sur la première case de l’échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant le nombre de grains à chaque case, et déclara qu’il se contenterait des grains déposés sur la 64ᵉ et dernière case du jeu.

Le roi agréa cette récompense sans se douter que des siècles ne suffiraient pas à son royaume pour produire la quantité de riz demandée, un peu plus de 9,2 milliards de milliards de grains, ce qui équivaut à plus de 4,5 siècles de la production mondiale de riz actuelle ! A raison d’environ 25.000 grains par kilogramme, cela fait environ 231 milliards de tonnes, soit à peu près 257 milliards m3 (densité 0.9 kg/dm3) ; elle n’aurait pas tenu sur une case d’échiquier puisque, en amassant les grains sur la surface de la ville de Paris, la couche mesurerait 2,45 mètres de haut.

.           Le calcul en additionnant :

T 64 =   1 + 2 + 4 + ⋯ + 9.223.372.036.854.775.808   =   18.446.744.073.709.551.615

Heureusement il y a des méthodes mathématiques beaucoup plus simples :

T 64 = 20 + 21 + 22 + ⋯ + 263  =  264  - 1

.           Le nombre de grains sur la première moitié de l'échiquier (32 cases) est important,

T 32 = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2.147.483.648  =  4.294.967.295 =  (232 - 1) grains.

En supposant que la masse d'un grain de riz est de 40 mg (25.000 grains / kg), le riz sur la première moitié de l’échiquier a un poids total d’environ 172 tonnes.

.           La quantité sur la seconde moitié de l'échiquier est de

232 + 233 + 234 + ... + 263  =  264 - 232 grains.

Ce nombre est donc égal au carré [264 = (232)2] du nombre de grains sur la première moitié de l'échiquier, plus une fois ce nombre de grains sur la première moitié de l'échiquier. Il est précisément  4.294 967.295 (= 232) fois plus important que celui de la première moitié de l’échiquier.

.           La première case de la deuxième moitié de l’échiquier contient à elle seule plus de grains que la totalité de la première moitié.

.           Sur la seule 64ème case de l'échiquier (celle qui intéresse notre Sissa), il y aurait 263 = 9.223.372.036.854.775.808 grains, soit plus de 2,1 milliards de fois le nombre de grains de la première moitié de l'échiquier.

.           Sur l'ensemble de l'échiquier, il y aurait 264 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615 grains, pesant environ 462 milliards de tonnes métriques. Cela représente environ 890 fois la production mondiale de riz en 2019 (520 millions tonnes).

.            Cet exercice peut être utilisé pour démontrer la vitesse de croissance des séquences exponentielles, ainsi que pour introduire les exposants, la puissance zéro, la notation capital-sigma et les séries géométriques. La formule a été utilisée pour expliquer les intérêts composés : "Préféreriez-vous avoir un million d’euros immédiatement ou la somme d'un centime doublée chaque jour pendant un mois ? » Au bout de 30 jours, on aurait : 5 368 709,12 euros

« Les exponentielles ne peuvent pas durer éternellement, car elles engloutissent tout.

« La croissance exponentielle ne peut jamais durer très longtemps dans un espace fini avec des ressources limitées ».

Quelques grandeurs

.            Le nombre de grains de sable qui seraient nécessaires pour remplir l’univers est de 1090.

Le plus petit volume connu de l’univers, le volume de Planck, est un petit cube de 10-35 m de côté côté (la longueur de Planck, le « quanta », une valeur au-dessous de laquelle, selon la théorie quantique, on ne peut plus subdiviser l’espace). Il en faudrait 10183 pour remplir l’univers observable.

Si on pouvait imaginer un univers dont la dimension serait de 1 gogolplex, vous trouveriez un jour quelqu’un strictement identique à vous, par le jeu du nombre fatalement maximum de combinaisons d’états quantiques 1070, donc aussi fatalement inférieur à un gogolplex. En réalité la taille de l’univers observable est de (1026)3 m.

En chiffres « ronds », notre Univers observable contiendrait donc 1080 atomes. En ordre de grandeur, c’est aussi le nombre total d'atomes dans tout l'univers, y compris sa partie invisible. Le nombre de 0 derrière le 1 du gogol est ainsi supérieur au nombre d’atomes dans l’univers d’un facteur 1020.

Les nombres premiers

.            Le 7 décembre 2018, un record a été battu, celui du plus grand nombre premier connu, 282 589 933 − 1, qui comporte près de 25 millions de chiffres en écriture décimale (un nombre premier n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même). On doit cette performance au Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), le réseau mondial d'unités centrales atteignant une capacité de 450 000 milliards de calculs par seconde, le plus long projet de "supercalculateur de base" fonctionnant en continu de l'histoire d'Internet. Grâce à l’algorithmique de Lucas, 39 jours de calcul ont suffi à l’ordinateur de l’université américaine pour vérifier la primalité du nouveau recordman du monde.

Le nombre de Shannon

.            Le nombre de Shannon, soit 10120, est une estimation de la complexité du jeu d'échecs, c'est-à-dire du nombre de parties différentes, (au sens échiquéen), possibles. Ce nombre est à distinguer du nombre, beaucoup plus élevé, de parties légales qu'autorisent les règles du jeu.

Il a été initialement calculé par Claude Shannon (1916-2001), le père de la théorie de l'information qui popularisa l'utilisation du mot bit comme mesure élémentaire de l'information numérique. D'après lui, 40 coups sont joués en moyenne dans une partie, et, à chaque demi-coup, un joueur a le choix entre, toujours en moyenne, 30 mouvements possibles (ce nombre se situant en fait entre 1, pour les coups forcés, et 218, dans la position qui laisse le plus de liberté de mouvement). Il y aurait donc (30×30)40 soit environ 10120 (un 1 suivi de 120 zéros) parties d'échecs possibles.

Les estimations récentes donnent 10123 parties possibles, sachant que le nombre de positions légales possibles est estimé entre 1043 et 1050. Il convient enfin de préciser que ces nombres correspondent à des parties "raisonnables" : il est possible en fait, compte tenu de la règle des cinquante coups, de jouer des parties légales (mais complètement absurdes) de près de 6.000 coups, et on voit aisément que cela implique un nombre de parties bien supérieur à 106000.

L'ordre de grandeur du nombre de Shannon correspond à la capacité mémoire de l'univers calculée par Seth Lloyd (voir infra).

Nombre d'Asankhyeya

.            Un nombre plus modeste mais au joli nom d'Asankhyeya –incalculable en sanscrit- (1 suivi de 140 zéros = 10140) a des origines bouddhiques et fut supposé (au moins 6° siècle av JC) être le plus grand.

Le jeu de go

.            Inventé en Chine il y a environ 3000 ans, il est arrivé en Europe il y a seulement un siècle. Deux joueurs tentent de se partager un plateau de 19 lignes sur 19 en créant des territoires qu’ils délimitent grâce à des frontières formées de pierres noires et blanches. Le nombre de combinaisons à explorer est immense, estimé très approximativement à 10600 (1 suivi de 600 zéros), contre 10120 environ aux échecs (nombre de Shannon), malgré des règles plus simples. Ceci est principalement dû au fait que le plateau de go est bien plus étendu, que la plupart des coups sont légaux et souvent plausibles, et également au fait que la capture des pions rend possible de rejouer dans les espaces ainsi libérés ; cette dernière possibilité permet d'ailleurs de construire des parties légales (mais tout aussi absurdes que celles mentionnées pour les échecs) inimaginablement plus longues (il n'est pas difficile de construire des parties de plus de 10100 coups).

Le Rubik's Cube

.            Le Rubik's Cube original (3×3×3) a 8 coins et 12 bords. Il y a 8 ! (40 320) façons de disposer les cubes d'angle. Chaque coin a trois orientations possibles, bien que seulement sept (sur huit) puissent être orientés indépendamment ; l'orientation du huitième coin (final) dépend des sept précédents, ce qui donne 37 (2.187) possibilités. Il y a 12 ! / 2 (239 .500.800) façons de disposer les bords qui doivent être dans une permutation régulière exactement au moment où les coins le sont. Onze bords peuvent être inversés indépendamment, l'inversion du douzième dépendant des précédents, ce qui donne 211 (2.048) possibilités.

8 ! × 37 × (12 ! / 2) × 211 = 43.252.003.274.489.856.000

Ce qui est approximativement 43 quintillions de combinaisons (43 milliards de milliards), en se limitant aux permutations qui peuvent être atteintes uniquement en tournant les côtés du cube. Pour mettre les choses en perspective, si l'on disposait d'un Rubik's Cube de taille standard pour chaque permutation, on pourrait couvrir la surface de la Terre 275 fois, ou les empiler dans une tour de 261 années-lumière de haut.

Notation des puissances itérées de Knuth

En 1976, le mathématicien Donald Knudt a inventé une notation pour désigner les opérations de combinaisons successives de puissances.

Par exemple

5 ↑ 1 = 51 = 5

5 ↑ 2 = 52 = 25

5 ↑ 3 = 53 = 125

5 ↑ 4 = 54 = 15 625

3 ↑ 1 = 31 = 3

3 ↑ 2 = 32 = 9

3 ↑ 3 = 33 = 27

3 ↑ 4 = 34 = 81

Etc.

3 ↑↑ 1 = 31 = 3

3 ↑↑ 2 = 3 ↑ 3 = 33 = 27

3 ↑↑ 3 = 3 ↑ 3 ↑ 3 = (3)^33 = 327 = 7 625 597 484 987

3 ↑↑ 4 = 3 ↑ 3 ↑ 3 ↑ 3 = (3)^327) = 57 625 597 484 987

Ce terme 3 ↑↑ 4 = [(33)^3]^3  est de la forme 12580 … 39387 et a 3 638 334 640 025 chiffres.

3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3 = 3 ↑↑ 327 = 3 ↑↑ 7 625 597 484 987

Etc.

5 ↑↑ 1 = 51 = 5

5 ↑↑ 2 = 5 ↑ 5 = 55 = 125

5 ↑↑ 3 = 5 ↑ 5 ↑ 5 = (5)^55 = 5125 = 2.35099*1087

5 ↑↑ 4 = 5 ↑ 5 ↑ 5 ↑ 5 = (5)^5125) = 52.35099*10^87

Le nombre de Graham

.            Du nom du mathématicien Ronald Graham (1935- ), c’est un entier naturel connu pour avoir été longtemps le plus grand entier apparaissant dans une démonstration mathématique. Il est beaucoup trop grand pour être écrit grâce à la notation scientifique et nécessite une notation permettant d'écrire de très grands nombres (notation des puissances itérées de Knuth). Toutefois, il est possible d'obtenir ses derniers chiffres sans trop de difficulté. Ainsi ses dix derniers chiffres sont 2464195387.

Le nombre de Graham est le 65e terme de la suite :

4 ,  3 ↑↑↑↑ 3 ,   3 ↑ ⋯ ↑ 3 ,   3 ↑ ⋯ ↑ 3 ,   …

où chaque terme est le nombre de flèches du terme suivant, en utilisant la notation des flèches (puissances itérées, une tétration) de Knuth (1938- ) :

Les nombres inaccessibles

.            Ils ne peuvent être décrits tellement ils sont grands et au-delà d’un horizon à partir duquel on ne peut plus accéder à ces nombres. C’est en fait la majorité des nombres (mystères de l’infini !).

« L’hypothèse des grands nombres » (Dirac)

.            Dans les années 1930, le prix Nobel anglais Paul Dirac (1902-1984) a développé la théorie appelée ‘hypothèse des grands nombres’ utilisés en science, fondée sur la surprenante similitude de trois nombres :

le rapport entre la force électromagnétique et gravitationnelle à l’intérieur d’un atome d’hydrogène, (1039)

l’âge de l’univers, divisé par le temps qu’il faut à la lumière pour traverser un atome d’hydrogène, (1039 aussi)

la racine carrée du nombre de particules dans l’univers, (1039 = 1078^0.5)

Sans trop comprendre le rapport entre ces trois valeurs, son calcul a déterminé 1078 comme prétendant au plus grand nombre ayant une signification scientifique. Le nombre d’atomes dans l’univers est lui estimé à 1080

Quel est le plus grand nombre possible ?

.            L’infini de toute évidence ! Mais l’infini n’est pas un nombre, mais un concept.

Cependant, dans les années 1870, le mathématicien russe Georg Cantor a révélé l’existence de nombreux infinis différents, dont certains sont … plus grands que les autres ! Le plus ‘petit’ est celui que l’on obtient en comptant indéfiniment : 0, 1, 2, 3, … Il s’agit d’Aleph-zéro (aleph étant la première lettre de l’alphabet hébreu), le premier de ce que Cantor appelait les nombres transfinis. Ces nombres ont des propriétés à priori étranges. Par exemple, additionner ou multiplier n fois Aleph-zéro donne simplement … Aleph-zéro.

Cantor a également montré qu’il existait d’autres infinis encore plus grands, par exemple Aleph-un, un nombre si grand qu’on ne pourra jamais l’atteindre. Pour le mathématicien, il y a une infinité de nombres infinis, chacun supérieur au précédent, jusqu’à ce que l’on arrive au plus grand de tous, ‘l’infini absolu’ et représenté par la lettre oméga. Ce nombre est si grand qu’il est indescriptible.

Grandeurs astronomiques

L’immensément grand !

Unité astronomique (ua) correspond approximativement à la distance entre la Terre et le Soleil, autrement dit, le rayon moyen de l’orbite terrestre autour du Soleil (environ 150 millions de km). Elle est principalement utilisée pour exprimer les distances entre les objets célestes du Système solaire ainsi qu'entre ceux situés dans d'autres systèmes planétaires. Elle est historiquement fondée sur la distance entre la Terre et le Soleil et a été créée en 1958. En 2012 elle a été définie comme valant exactement 149 597 870 700 m (valeur fixe recommandée). Une année-lumière vaut donc approximativement 63 241 unités astronomiques.

Distance Terre-Soleil = 1 ua

Distance Mars-Soleil = 1,52 ua

Distance Jupiter-Soleil = 5,4 ua

Année-lumière (al) 1 al = 63 241,077 ua = 9 460 730 472 580 800 m (~ 9 461 milliards km)

C’est la distance parcourue par la lumière dans le vide, en une année julienne de 365,25 jours (31 557 600 secondes), à la vitesse de 299 792 458 m/s, en dehors de tout champ gravitationnel ou magnétique.

Proxima du Centaure, l’étoile la plus proche du Soleil est à 4,28 al de nous.

Le Soleil est situé à 28 000 al du centre de la Voie Lactée.

Distance qui nous sépare de la Grande Ourse : environ 2 milliards al, soit 18 mille milliards de milliards de kilomètres.

Rayon du système solaire : 14,4 milliards de km, soit 96 UA.

Le diamètre du halo de la Galaxie mesure environ 100 000 al

La grande galaxie la plus proche de nous, Andromède, est à 2,6 millions d’al.

Parsec (pc) (parallaxe-seconde) est défini comme valant exactement 648 000 / π unités astronomiques, soit 30 856 775 814 912 km ou encore environ 3,261 563 777 années-lumière. La mesure de la parallaxe d’un astre en secondes est l’inverse de sa distance en parsecs.

Le parsec est la distance à laquelle le rayon de l’orbite terrestre (1 ua) est vu sous un angle de 1’’ (1 seconde.

Les astronomes professionnels parlent plus facilement en parsecs qu’en années-lumière. Les raisons en sont d’ordre pratique, des simplifications apparaissant dans les formules avec cette unité. Avec cette nouvelle unité,

Proxima du centaure est à 1,316 pc (parallaxe de 0,76 seconde).

Les distances dans l’univers étant très grandes, on utilise plutôt des multiples du parsec, comme le kilo ou le méga parsec (Mille ou un million de parsecs).

Le Soleil est situé à environ 8,6 kpc du centre de la Galaxie.

Le halo de la Galaxie fait environ 30,7 kpc de diamètre.

Andromède est situé à 0,8 Mpc, et l’amas de la Vierge à 15 Mpc.

Masse solaire (MS) : c’est la masse du Soleil et est notée MS ou M.

1 MS = 1,9884 × 1030 kg, environ 2 quadrilliards tonnes.

La Voie Lactée a une masse d’environ 200 milliards MS.

Vertige !

.            Les étoiles et nébuleuses visibles à l’oeil nu n’occupent qu’une petite fraction d’un ensemble beaucoup plus grand : la Voie Lactée. Cette spirale contient entre 200 et 400 milliards d’étoiles et au minimum 100 milliards de planètes, ressemble à un disque de 1000 al d’épaisseur et de 100.000 al de diamètre. La Terre et le Soleil se trouvent à 28.000 al du centre de la Voie Lactée et orbitent autour de lui en une année galactique, soit 230 millions d’années. Le Soleil tourne autour de ce centre sur une orbite approximativement circulaire avec une vitesse de l’ordre de 220 km/s.

La Voie Lactée n’est qu’une galaxie parmi d’autres. Depuis l’hémisphère sud, on peut facilement voir à l’œil nu deux petites galaxies satellites de la nôtre : le Grand Nuage de Magellan, à 160.000 al, et le Petit Nuage de Magellan, à 200.000 al. Depuis l’hémisphère nord, on peut observer une galaxie plus similaire à la nôtre : la galaxie spirale d’Andromède, à 2.5 millions al.

La Voie Lactée et la galaxie d’Andromède sont les membres principaux d’un ensemble d’une cinquantaine de galaxies appelé le Groupe Local dont le diamètre est estimé à 10 millions d’AL. On observe beaucoup d’ensembles plus grands, avec des centaines ou des milliers de membres, que l’on appelle alors des amas de galaxies. On peut citer par exemple l’amas de la Vierge, à 60 millions al, qui pourrait compter jusqu’à 2.000 membres.

Les superamas

.            Les observations montrent que le Groupe Local et les amas de galaxies qui l’entourent forment une structure encore plus gigantesque, centrée sur l’amas de la Vierge, d’où son nom : le superamas de la Vierge. Son diamètre est de 100 millions al et il contient une centaine de groupes et d’amas de galaxies.

Le superamas de la Vierge fait lui-même partie d’un ensemble extraordinaire appelé le complexe de superamas Poissons-Baleine. Cette structure, découverte en 1987, est large de 150 millions al et longue d’un milliard al. D’autres structures plus grandes ont été observées au-delà du superamas de la Vierge : le Grand Mur de Sloan, d’environ 1,4 milliard al de long et découvert en 2003, et le Huge-LQG (Huge Large Quasar Group), de 4 milliards al de long et découvert en 2012.

Ces ensembles de l’ordre du milliard al représentent les structures les plus grandes de l’Univers observable.

L’Univers observable

.            Au-dessus du milliard al, nous nous retrouvons à l’échelle de l’Univers observable. Contrairement à l’Univers considéré dans sa totalité, l’Univers observable n’inclut que les corps et structures que nous pouvons observer depuis la Terre. Comme aucune information ne peut se propager plus vite que la vitesse de la lumière et que l’Univers n’existe que depuis 13,8 milliards d’années, la taille de l’Univers observable est définie par la distance que la lumière a parcourue en 13,8 milliards d’années.

Pour calculer la taille de l’Univers observable, il faut cependant aussi prendre en compte l’expansion de l’Univers. Comme l’espace s’est continuellement dilaté depuis le Big Bang, la limite de l’Univers observable est beaucoup plus éloignée que les 13,8 milliards d’AL auxquelles on pourrait s’attendre à première vue. En fait, les modèles cosmologiques basés sur les observations et la théorie de la relativité générale montrent que le diamètre de l’Univers observable est d’environ 93 milliards al.

.            La limite de l’Univers observable est relative et n’a pas de signification physique. L’Univers dans son ensemble doit s’étendre bien au-delà de cette limite et il est même probable qu’il soit infini. Malheureusement, ces régions nous sont à tout jamais inaccessibles. Les modèles qui tentent de les décrire ne pourront donc pas être vérifiés par l’observation et la question de la taille de l’Univers dans son ensemble ne trouvera jamais de réponse.

 Khrouchtchev : « Gagarine a été dans l'espace mais il n'y a vu aucun dieu !»

Etoiles vs Grains de sable !

.            Il existe dans notre galaxie entre 200 et 400 milliards d’étoiles. Le nombre de galaxies présentes dans l’univers est de 100 à 300 milliards. Il y aurait donc environ 6 * 1022 étoiles dans l’univers observable.

Si l’on considère les 1010 m3 de sable dans les côtes, les plages, les dunes, les déserts, en estimant 100 milliards de grains de sable par m3, on calcule 1021 grains de sable sur terre.

Il y aurait donc 60 fois plus d’étoiles que de grains de sable.

Si on convertissait chaque étoile en grain de sable, il y aurait de quoi recouvrir la terre d’une épaisseur de 12 cm.

Combien y-a-t-il d’atomes dans l’univers ?

.            On pourrait croire qu'il est impossible de compter les atomes de l'Univers et pourtant la science est capable d'en estimer le nombre. Elle aboutit à l'un des plus grands nombres qu'elle puisse concevoir.

La matière de l'Univers est principalement composée d'atomes d'hydrogène, dont la masse est concentrée dans le proton qui en constitue le noyau. Cette matière est contenue dans des étoiles. Combien une étoile contient-elle d'atomes ? Combien notre Univers contient-il d'étoiles ?

Notre Soleil est une étoile moyenne. Il a une masse de 2×1033 grammes.

Par ailleurs un gramme de matière contient environ 0,5×1024 atomes (ordre de grandeur du nombre d’Avogadro). Le nombre d'atomes dans une étoile est obtenu en multipliant les deux nombres précédents, ce qui donne 1057.

Une étoile contient donc en gros 1057 atomes. Reste à compter les étoiles...

Notre propre galaxie, la Voie Lactée, contient environ 300 milliards d'étoiles, c'est-à-dire 3 x 1011. Notons précieusement que cette estimation ne peut pas être violemment fausse car on dispose de plusieurs moyens pour estimer la masse d'un objet, la méthode principale consistant à mesurer la vitesse d'un corps gravitant autour et à appliquer la loi de la gravitation universelle de Newton.

Par conséquent notre galaxie compte 3 x 1011 fois 1057 atomes, soit 3 x1068 atomes.

Notre galaxie est une galaxie moyenne, ni trop grosse ni trop maigre. Nous la prenons donc comme une galaxie-type. Les galaxies autres que la nôtre, on les compte ! La partie visible de notre univers en contiendrait peut-être un millier (300 ?) de milliards, soit 1012. Nous aboutissons à un nombre total d'atomes de 1012 fois 1068, soit 1080.

En chiffres « ronds », notre Univers contiendrait donc 1080 atomes dans sa partie accessible à nos yeux.

Ce nombre représente-t-il le nombre total d'atomes dans tout l'univers, y compris sa partie invisible ? Très probablement ! En effet, il n’y a pas lieu de penser que la taille de la partie visible de notre Univers soit inférieure à sa taille totale par plusieurs ordres de grandeur. Au contraire un principe « copernicien » veut que notre univers a un âge comparable à sa durée de vie totale (autrement dit, il n'est pas excessivement jeune, il a un âge moyen), ce qui implique, d'après les équations des univers en expansion, que la taille de sa portion visible (celle qui s'étend jusqu'à l'horizon cosmologique) est comparable à sa taille totale. Par conséquent, on peut penser que le nombre de galaxies dans l'univers entier est du même ordre de grandeur que le nombre de galaxies appartenant à sa partie observable (disons qu'un facteur d'au plus quelques dizaines les sépare). De toute façon, que le nombre retenu soit de 1079 ou de 1084 n'est pas d'une importance capitale...

L’hôtel infini, voyage dans un paradoxe

.            Ouvrons un hôtel infini, un hôtel hypothétique avec une infinité dénombrable de chambres qui peuvent donc être listées sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers. Dès lors on peut numéroter les chambres : chambre 1, chambre 2, et ce jusqu’à l’infini. Chaque chambre accueille un seul voyageur.

Quel serait l’avantage de cet hôtel novateur ?

.            Imaginons que chaque chambre de notre hôtel infini est déjà occupée, l’hôtel est complet ! Un nouveau voyageur se présente à l’accueil et souhaite obtenir une chambre. Mauvaise nouvelle ? Non ! Les propriétés de l’infini vont permettre de lui en trouver une. Le réceptionniste a une idée. Il frappe à la chambre 1 et demande à son occupant d’aller s’installer dans la chambre 2, ensuite il demande à l’occupant de la chambre 2 de s’installer dans la 3 et ainsi de suite. Chaque client déménage de la chambre N vers la chambre N+1 et, comme il y a un nombre infini de chambres, il y a une nouvelle chambre pour chaque client. Après ce long procédé, le réceptionniste indique au voyageur que la première chambre est à présent libre pour la nuit.

.            Cet hôtel remarquable permet également de loger les voyageurs de tout un bus alors que l’hôtel est déjà complet. Supposons qu’un bus contenant 20 nouveaux voyageurs arrive. Le réceptionniste utilise la même idée et demande cette fois à l’occupant de la chambre 1 de déménager vers la chambre 21, à l’occupant de la chambre 2 de déménager vers la 22 et ainsi de suite. Chaque client déménage de la chambre N vers la chambre N+20 et le problème est résolu : les 20 voyageurs du bus s’installent chacun dans une des 20 premières chambres qui sont à présent vides. Ce procédé fonctionne quel que soit le nombre fini de voyageurs qui se présentent.

.            A présent, imaginons que c’est un bus infini, rempli d’un nombre infini dénombrable de voyageurs (voyageur 1, voyageur 2…) qui arrive à notre hôtel qui est complet. Comment loger cette infinité de nouveaux voyageurs !

Il faut pour cela libérer un nombre infini de chambres, par exemple toutes les chambres impaires. Notre standardiste demande donc au client de la chambre 1 de déménager vers la chambre 2, au client de la chambre 2 de déménager vers la 4, à celui de la chambre 3 de déménager vers la 6 et ainsi de suite. Cette fois, le client de la chambre N déménage vers la chambre 2N. Les chambres paires sont à présent toutes occupées, laissant toutes les chambres impaires libres pour accueillir les nouveaux voyageurs.

.            Il est possible de pousser l’expérience encore plus loin en imaginant qu’un nombre infini dénombrable de bus, chacun transportant un nombre infini dénombrable de voyageurs, arrivent à notre hôtel, toujours complet. Le réceptionniste peut à nouveau compter sur les mathématiques pour l’aider, en faisant appel à l’infinité des nombres premiers (les nombres premiers sont des nombres naturels qui ont exactement deux diviseurs : 1 et eux-mêmes. Par exemple : 2, 3, 5, …) Les clients de l’hôtel vont déménager vers les chambres dont les numéros sont les exposants de 2 (premier nombre premier). Par exemple, le client de la chambre 5 ira dans la chambre 25 (= 32). Le client de la chambre N déménage donc vers la chambre 2N. Passons ensuite au premier bus infini dont les clients seront envoyés vers les chambres numérotées par les exposants de 3 (deuxième nombre premier). Le voyageur du siège 5 du premier bus dormira dans la chambre 35 (= 243). Et ainsi de suite pour l’infinité de clients de l’infinité de bus ; le client N du 2e bus dormira dans la chambre 5N, le client N du 3e bus dormira dans la chambre 7N. Comme nous utilisons les exposants des nombres premiers, il n’y a pas de répétition des numéros de chambres et chaque client peut dormir tranquillement. Notons qu’il reste une infinité de chambres vides, celles qui ne sont pas des exposants de nombres premiers, par exemple la 6e chambre.

.            Malgré le travail logistique colossal que cet hôtel demande, ces expériences ne sont possibles que parce que nous travaillons avec l’infini et en particulier sa plus petite version, que l’on appelle « infini dénombrable », concept que nous avons utilisé tout le long en comptant les chambres, les bus, les clients…

Notre hôtel infini, souvent appelé Hôtel de Hilbert, est une expérience théorique pensée par le mathématicien David Hilbert (1862-1943) qui illustre le paradoxe éponyme décrivant les propriétés contre-intuitives des ensembles infinis.

Cette expérience de pensée illustre surtout les problèmes que nous avons à gérer l’infini, en nous forçant à abandonner nos habitudes de dénombrement dans les ensembles finis.

A propos de la "Bibliothèque de Babel"

                La « Bibliothèque de Babel » (1941), une nouvelle de Borges, est troublante.

.            La nouvelle décrit une bibliothèque de taille gigantesque contenant tous les livres de 410 pages possibles (chaque page formée de 40 lignes d'environ 80 caractères) et dont toutes les salles hexagonales sont disposées d'une façon identique. Les livres sont placés sur des étagères comprenant toutes le même nombre d'étages et recevant toutes le même nombre de livres. Chaque livre a le même nombre de pages et de signes. L'alphabet utilisé comprend vingt-cinq caractères (vingt-deux lettres minuscules, l'espace, la virgule et le point).

Cette bibliothèque contient tous les ouvrages déjà écrits et tous ceux à venir parmi un nombre immense de livres, même illisibles (puisque chaque livre peut n'être constitué que d'une succession de caractères ne formant rien de précis dans aucune langue).

Selon le narrateur, la bibliothèque est immense mais non infinie car le nombre de combinaisons possibles est lui-même fini ; il ajoute qu'il est absurde de supposer qu'elle s'arrête quelque part, et postule qu'elle pourrait être cyclique, en se répétant sans cesse, et donc infinie ; il conclut son récit par : « le désordre apparent, se répétant, constituerait un ordre, l'Ordre ».

.            Il est possible de calculer le nombre de livres distincts présents dans la bibliothèque : chaque livre comporte 410 pages, chaque page comporte 40 lignes et chaque ligne comporte 80 caractères, il existe 25 caractères différents. Donc le nombre de livres distincts est 25 (410 × 40 × 80) ≈ 1,956 × 101834097. On peut remarquer que ce nombre est inimaginablement plus grand que le nombre d'atomes dans l'univers observable (environ 1080). Avec un nombre aussi grand (comportant plus 1 800 000 chiffres), le matériel informatique n'est pas en mesure de stocker cette bibliothèque. En revanche, il est possible d'engendrer des pages à la demande du lecteur. À cet effet, il faudrait plus d'un livre (environ 1,4 en l'occurrence) de la Bibliothèque de Babel pour écrire ce nombre

Cette bibliothèque est une métaphore de l’univers. Mieux encore, elle est l’expression d’un nombre-univers, un nombre réel dans lequel on peut trouver n’importe quelle succession de chiffres de longueur finie. Le code de toute chose.

Le meilleur calcul de la somme d’information contenue dans l’univers depuis le Big Bang a été effectué par Seth Lloyd (1960- ), concepteur de l’ordinateur quantique et professeur au MIT : 10120 bits. Gogol est donc plus petit que le nombre de bits contenus dans l’univers.

Un nombre de 39 chiffres rendu insaississable !

La revue pédagogique / Année1885 / 7-2 / pp. 236-237 – A.Clerc

.            Nous trouvons dans une publication d'Alsace-Lorraine, à laquelle nous sommes heureux de faire un emprunt (car c'est le seul journal qui s'y publie encore en français, le Progrès religieux de Strasbourg), une application très ingénieuse des méthodes intuitives. Elle nous parait de nature à intéresser nos lecteurs, et bien propre à suggérer à tous ceux qui sont chargés de la difficile mission de l'enseignement quelques-uns de ces procédés qui frappent l'esprit, rendent la vérité manifeste ou plus sensible et la gravent plus profondément dans la mémoire.

.            Chacun sait qu'au-delà d'une certaine limite, la grandeur des nombres n'est plus saisissable pour notre entendement. Par exemple, nous ne nous faisons que difficilement, en général, une idée bien nette d'une somme de un milliard de francs, et nous renonçons à nous figurer, à voir par les yeux de l'esprit, une somme d'une valeur plus considérable. Pourtant, à l'aide de certaines considérations, de certains rapprochements de quantités bien connues, on peut tout au moins se rendre compte de l'importance de ces valeurs immenses qui semblent échapper à notre appréciation.

.            L'auteur de l'article, M. Leblois, amené par des considérations purement morales à rechercher la valeur qu'aurait acquise en 1884 l'infime capital de un sou placé à 5%, à intérêts composés, au commencement de l'ère chrétienne, trouve que cette valeur, en francs, est représentée par un nombre entier de treize tranches de trois chiffres.        

Ce nombre prodigieux, qui met au défi toutes nos forces intellectuelles, qui confond même notre imagination, est le suivant :

416.496.400.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,

et il s'énonce : 416 undécillions 496 décillions 400 nonillons.

.            Par une voie indirecte, M. Leblois a pourtant raison de l'effrayant colosse. Empruntant des calculs faits par l'astronome Camille Flammarion (Revue d'Astronomie, 3e année, 1884, p. 312-313), il présente ainsi la question :

.            On connait exactement le poids du globe terrestre : il pèse 5.875 sextillions de kilogrammes. Supposons qu'il soit changé en un lingot d'or massif, ce lingot serait trois fois et demie plus lourd que la planète ; il pèserait 20.562 sextillions de kilogrammes. On connait aussi la valeur d'un kilogramme d'or pur. Si donc notre planète était un lingot d'or massif, ce lingot vaudrait 69.910.800.000 milliards de milliards de francs. En comparant cette somme à celle exprimée ci-dessus, on reconnait que pour atteindre cette dernière, il faudrait répéter la valeur du lingot 5.957.450.179 fois, c'est-à-dire près de six milliards de fois ; en d'autres termes, il faudrait près de six milliards de globes d'or de la dimension de la terre pour payer le capital produit par un sou en 1884 ans !

« En imaginant que chaque minute il tombe des cieux un lingot d'or de ce volume, on trouve qu'il en tomberait par jour 1.440 seulement, et par année 525.969. Pour constituer le nombre de près de six milliards de lingots pareils, en supposant toujours qu'il en tombe un par minute, il faudrait qu'il en tombât, sans interruption, jour et nuit, durant l'espace énorme de 11.326 années ! »

.            Il est donc bien vrai, comme le dit l'auteur au début de son article, que « tout l'or du monde ne suffirait pas aujourd'hui pour payer la somme énorme que la petite pièce d'un sou aurait produite ». A coup sûr, il était permis de penser qu'ici le vrai est loin d'être vraisemblable.