Des curiosités chiffrées

Quelques triangles chiffrés

Le nombre de la bête : 666

.          Ce nombre est un peu curieux :

(6 x 6 x 6) + (6 x 6 x 6) + (6 x 6 x 6) + (6 + 6 + 6) = 666

1 + 2 + 3 + ... + 35 + 36 = 666

123 + 231 + 312 = 666

132 + 213 + 321 = 666

666 + 6 + 6 + 6 = 684 ;          666 + 6 + 8 + 4 = 684

sin° (666) = cos° (6 x 6 x 6) = cos° (216) = - φ / 2 (nombre d’or / 2)

37

111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999 sont tous multiples de 37.

365

365 = 102 + 112 +122 = 132 + 142

10 (n fois 9) 89

Si on multiplie 1089 par 9, les chiffres s'inversent : 9801. Cela se vérifie pour tous les nombres de structure   10 (n fois 9) 89

10 99 89 x 9 = 98 99 01

10 999 89 x9 = 98 999 01

21978

multiplié par 4, voit ses chiffres s'inverser.

21 9 78 x 4 = 87 9 12

37037

multiplié par :

2,  puis par 3,  on obtient  222 222

3,  puis par 3,  on obtient  333 333

4,  puis par 3,  on obtient  444 444

5,  puis par 3,  on obtient  555 555

6,  puis par 3,  on obtient  666 666

7,  puis par 3,  on obtient  777 777

8,  puis par 3,  on obtient  888 888

9,  puis par 3,  on obtient  999 999

Le produit de 4 nombres consécutifs plus 1

est un nombre carré.

(1 * 2 * 3 * 4) + 1 =   25 =   52

(2 * 3 * 4 * 5) + 1 = 121 = 112

(3 * 4 * 5 * 6) + 1 = 361 = 192

(11 * 12 * 13 * 14) +1 = 24.025 = 1552

142857

142 8572 = 20 408 122 449 et 20 408 + 122 449 = 142 857

et

142 857 4 = 416 491 461 893 377 757 601

142 857 × 15 = 416 + 491 461 + 893 377 + 757 601

et

142 857 8 = 173 465 137 830 082 936 774 412 507 898 191 113 275 201

142 857 × 15 = 173 465 + 137 830 + 082 936 + 77 4412 +507 898 + 191 113 + 275 201

et

Si on divise par 1 par 7, on obtient   0.142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857

Si on divise 142 857 par 7, on obtient   20 408,142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857

De nombreuses identités remarquables lient 142 857 aux nombres de la forme 10n – 1 :

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 où 2 + 7 = 9 = 101 - 1

14 + 28 + 57 = 99 = 102 - 1

142 + 857 = 999 = 103 - 1

Si on multiplie 142 857, un nombre cyclique, « phénix », par :

  1 (7-6), on obtient :  142 857

  2 (7-5), on obtient :  285 714

  3 (7-4), on obtient :  428 571

  4 (7.3), on obtient :  571 428

  5 (7-2), on obtient :  714 285

  6 (7-1), on obtient :  857 142

7 (7*1), on obtient :  999 999 /  0 +  999 999  =  999 999 (puisque 142 857 est le développement périodique de la partie décimale de la division 1/7 : 1/7 = 0,142 857 142 857 142 857 …)

  8 (7*1+1), on obtient :  1 142 856     /    1+   142 856  =  142 857  =  1 * 142 857

  9 (7*1+2), on obtient :  1 285 713     /    1 +  285 713  =  285 714  =  2 * 142 857

10 (7*1+3), on obtient :  1 428 570     /    1 +  428 570  =  428 571  =  3 * 142 857

11 (7*1+4), on obtient :  1 571 427    /    1 +  571 427  =  571 428  =  4 * 142 857

12 (7*1+5), on obtient :  1 714 284     /    1 +  714 284  =  714 285  =  5 * 142 857

13 (7*1+6), on obtient :  1 857 141     /    1 +  857 141  =  857 142  =  6 * 142 857

14 (7*2),  on obtient :      1 999 998    /    1 +  999 998  =  999 999

15 (7*2+1), on obtient :   2 142 855    /    2 +  142 855  =  142 857 =  1 * 142 857

16 (7*2+2), on obtient :   2 285 712    /    2 +  285 712  =  285 714 =  2 * 142 857

17 (7*2+3), on obtient :   2 428 569    /    2 +  428 569  =  428 571 =  3 * 142 857

18 (7*2+4), on obtient :   2 571 426    /    2 +  571 426  =  571 428  = 4 * 142 857

19 (7*2+5), on obtient :   2 714 283    /    2 +  714 283  =  714 285  = 5 * 142 857

20 (7*2+6), on obtient :   2 857 140    /    2 +  857 140  =  857 142  = 6 * 142 857

21 (7*3), on obtient :     2 999 997   /    2 +  999 997  =  999 999

56 (7*8),   on obtient :   7 999 992    /    7 +  999 992  =  999 999

57 (7*8+1), on obtient : 8 142 849    /    8 +  142 859  =  142 857  =  1 * 142 857

126 (7*18), on obtient :  17 999 982  /  17 +  999 982  =  999 999

129 (7*18+3), on obtient :18 428 553  / 18 +  428 553  =  428 571 =  3 * 142 857

154 (7*22), on obtient : 21 999 978   /  21 +  999 978  =  999 999

160 (7*22+6), on obtient :22 857 120 /  22 +  857120  =  857 142 =  6 * 142 857

2 478 (7*354), on obtient : 353 999 646   /  353 +  999 646  =  999 999

2 479 (7*354+1), on obtient :354 142 503 /  354 +  142503  =  142 857 =  1 * 142 857

2 484 (7*354+6), on obtient :354 856 788 /  354 +  856 788  =  857 142 =  6 * 142 857

142 857 et 326 451

D'une part :

142 857 × 1 = 142 857

142 857 × 5 = 714 285

142 857 × 4 = 571 428

142 857 × 6 = 857 142

142 857 × 2 = 285 714

142 857 × 3 = 428 571

D'autre part :

1 000 000 = 1 + (7 × 142 857)

100 000 = 5 + (7 × 14 285)

10 000 = 4 + (7 × 1 428)

1 000 = 6 + (7 × 142)

100 = 2 + (7 × 14)

10 = 3 + (7 × 1)

Entre 1 et 1 000 000, il y a 142 857 nombres divisibles par 7

1 274 953 680

est le nombre qui utilise  tous les 10 chiffres de 0 à 9 et qui est divisible par n'importe quel nombre de 1 à 16 (sans décimale).

Tout nombre de 3 chiffres (100 à 999), peut s’écrire avec un seul des 9 chiffres (1 à 9)

et la combinaison des 4 opérations (J. Taneja)

814 =  22 x (2+2+2)2 + 22

            33 x (33 + 3) + 3 + 3 / 3

            (44-4) x (4 - 4 / 4)4 ) / 4 + 4

  66 x (66 + 6 + ( 6 +6 ) / 6 ) / 6

  9 x ( 99 - 9 ) + ( 9 x 9 - 9 ) / ( 9 + 9 )

998 = ( 11 - 1 )( 1 + 1 + 1 ) - 1 - 1

269 = 4 4 + 4 + 4 + 4 + 4 / 4

957 = 33 x (33 + 3 - 3 / 3)

207 = 99 + 99 + 9

10958

Tout nombre inférieur à 11111 peut s’écrire avec tous les chiffres de 1 à 9 en ordre croissant et en ordre décroissant (J. Taneja)

7415 = -1 + 2 x 3456 + 7 x 8 x 9

  ( 9 + ( 8 x 7 + 6 x 5 ) x 43 ) x 2 + 1

0 =    12+34 - 56 - 7 + 8 - 9

98 - 7 - 6 - 54 - 62 + 1

13 =   1 - 23 + 4 - 56 + 78 + 9

98 - 7 - 6 - 54 + 3 - 21

Un seul problème identifié à ce jour avec :

10958 = ( 9 + 8 x 7 x 65 + 4 ) x 3 - 2 + 1

mais dont le descendant , n'a pu être calculé à ce jour.

La conjecture de Syracuse

(popularisée par le mathématicien allemand Lothar Collatz aux environ de 1937. C’est à la suite d’un exposé à l’Université de Syracuse à New York qu’elle a acquis son surnom le plus connu).

.             Soit un nombre entier positif :

s’il est pair, on le divise par 2;

s’il est impair, on le multiplie par 3 et vous ajoutez 1.

On obtient alors un nouveau nombre, sur lequel on répète la procédure. Et ainsi de suite, pour fabriquer une séquence de nombres.

Mettons que l’on parte du nombre 7, voici la séquence :

7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16 , 8, 4, 2 , 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

.           La conjecture de Syracuse s’énonce ainsi : quel que soit le nombre que l’on choisisse au départ, on finira par tomber sur 1. Si la conjecture de Syracuse est vraie, quel que soit le nombre initial on doit tomber sur le cycle 4,2,1, appelé cycle trivial.

.             La conjecture a déjà été vérifiée numériquement jusqu’à 10 20 (Tomas Oliveira e Silva).