Quelques bases générales

Les chiffres

.            Ce sont des signes, des éléments d’écriture, utilisés pour construire les nombres. Notre système décimal est bâti sur les chiffres indo-arabes, apparus en Inde au 3e siècle av.J.C., et parvenus en Europe, à partir du X° siècle, par l'intermédiaire des Arabes : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … 0, le zéro étant adopté quelques siècles plus tard.

.            Les Romains de l'Antiquité utilisaient leurs propres chiffres pour écrire des nombres entiers jusqu'à environ 4 999 à partir de seulement sept lettres.

Contrairement à l’idée reçue, les chiffres romains ne sont pas acronymiques : le symbole qui représente le chiffre n’est pas l’initiale du chiffre en question. Ainsi, en dépit des apparences, C n’est pas l’abréviation de centum, ni M celle de mille. Ils proviendraient plutôt d’anciennes entailles dont les figures ont fini par être confondues avec des lettres.

Le repérage n'est pas aisé dès que le nombre d'encoches dépasse une poignée, parce que l'oeil ne perçoit pas clairement les collections au-delà de trois ou quatre items : lire IIIIIIII est pratiquement impossible (par comparaison à VIII, beaucoup plus simple). Le berger, sur son bâton, est naturellement conduit à intercaler régulièrement des encoches de forme différente, pour servir de repère visuel ; et le regroupement naturel (pour un berger comptant sur ses doigts) est par groupes de cinq. Un tel regroupement est toujours utilisé de nos jours sur les règles à mesurer.

Le repère "cinq" naturel pourra être une encoche plus longue (utilisée sur les règles), ou en biais (utilisée sur les tailles), mais ces deux marques ne se différencient pas bien des encoches simples quand il s'agit de les transcrire. Les marques simples finalement utilisées sont formées par une encoche double (en forme de V)

I : 1 ; V : 5 ; X : 10 ; L : 50 ; C :100 ; D :500 ; M :1000

Un nombre écrit en chiffres romains se lit de gauche à droite : si un chiffre est plus grand ou égal à son successeur, on l’ajoute à la somme ; s’il est plus petit, on le soustrait. Ainsi,

XXVI = 10 + 10 + 5 + 1 = 26             XXIV = 10 + 10 + (5-1) = 24

La langue latine confirme l’ancienneté du procédé soustractif : ainsi, dix-neuf se dit undeviginti (« un ôté de vingt ») et dix-huit duodeviginti (« deux ôté de vingt »).

.            Le système de numération romain est un système décimal où le zéro n’existait pas, ce qui rendait les calculs difficiles.

Les nombres

.            Concept permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments par une numérotation. Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, dont ils sont combinaison, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l’objet de l'étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.

.            Notre système de numération de base dix emploie une notation positionnelle et les dix chiffres, allant de zéro à neuf.

Le zéro

.            "Sunya" signifie "vide" en sanscrit, le zéro y est représenté par un petit rond (on sait pas vraiment pourquoi un rond !). Le zéro positionnel, en forme de rond ou de point, remplaçant l'espace qui précédait, a été trouvé dans l'actuel Cambodge en 683 et à Sumatra en 684. Ces régions sont, à l'époque, sous influence chinoise, et la première bénéficie alors de nombreux échanges avec l'Inde. En Inde, la première inscription comportant distinctement ce zéro date de 876.

Le zéro est entré en Occident au 12e siècle, et traduit en italien, sifr (le vide en arabe) qui donna zéfirum, mot que Léonard de Pise (vers 1170-1250) utilise dans son liber abaci et que l'on utilisera jusqu'au 15e siècle. Après quelques modifications, ce mot aboutit à zéfiro, qui donnera zéro à partir de 1491.

.            Le zéro est une invention récente dans l'histoire de l'humanité. Il n'est donc pas étonnant qu'il pose tant de problèmes aux élèves : c'est parce quand ils le rencontrent pour la première fois on leur explique que "zéro c'est rien", du coup 2 divisé par 0 est égal pour certains à 2, logique puisqu'on divise 2 par rien ce qui revient à ne pas le diviser, pour d'autres 2 divisé par 0 égal 0 puisqu'en divisant par rien on doit obtenir rien ! Chez certains 0 divisé par un nombre est impossible car on ne peut diviser le rien ! Finalement les élèves rencontrent les mêmes difficultés qu'ont rencontrés les hommes au cours de leur histoire, il n'est pas évident de concevoir 0 comme un nombre à part entière.

Les nombres réels

.            Un nombre réel, c’est soit un entier, une fraction (nombre rationnel) ou un nombre irrationnel (qui ne peut s’écrire sous forme de fraction). Par exemple, la racine de 2 qui mesure la longueur de la diagonale d’un carré de coté 1 est un nombre irrationnel ; c’est aussi un nombre dit algébrique car il est solution d’une équation algébrique à coefficients rationnels : x2 − 2 = 0.

Les nombres réels sont non dénombrables donc on ne peut nommer chacun d’entre eux. Ainsi, les nombres utilisés en pratique, que l’on peut nommer, constituent une partie infinitésimale des nombres réels. Les autres nombres réels, dont l’existence a été prouvée à partir des axiomes utilisés par les mathématiciens, sont en fait, pour la plus grande part, transcendants (comme Pi ou e) : ils ne sont solution d’aucune équation algébrique à coefficients rationnels. La plus grande part signifie ici avec une probabilité voisine de 1, car en réalité, si on choisit au hasard un nombre réel on obtient avec une probabilité voisine de 1 un nombre transcendant.

.            Mais, ils sont bien plus étranges encore. Ils sont aussi non calculables avec une probabilité voisine de 1. Un nombre réel est non calculable s’il n’existe aucun algorithme qui peut générer toutes ses décimales.

.            Pire, ces nombres réels sont aléatoires avec une probabilité voisine de 1 : un nombre réel est aléatoire s’il n’existe aucun algorithme pour calculer ses N premières décimales et qui puisse s’exprimer de façon bien plus concise qu’en listant ces N décimales. Autrement dit : il n’y a pas de structure identifiable dans les décimales du nombre et qui permettrait de le décrire de façon plus concise.