Histoire

.            Presque tous les nombres peuvent se décomposer en un produit de nombres entiers plus petits :

4  (2 × 2),          6  (2 × 3),         8  (2 × 2 × 2),            9  (3 × 3),         84 (3 x 4 x 7),  etc.

Ceux qui ne le peuvent pas sont appelés « nombres premiers ». C’est le cas de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Un nombre entier est premier s’il n’admet que deux diviseurs distincts entiers et positifs (1 et lui-même). Ainsi 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur entier positif ; 0 non plus, car il est divisible par tous les entiers positifs.

À l’exception de 2 et 5, les nombres premiers ne peuvent se terminer par les chiffres 0, 2, 4, 6, 8 et 5 (sans quoi ils sont divisibles par 2 ou 5). Les nombres premiers se terminent donc par 1, 3, 7 ou 9.

.           Les nombres premiers sont les briques élémentaires de l’arithmétique, disons la moitié des mathématiques. Certains parlent des nombres premiers comme des atomes de l’univers mathématique, d’autres comme des pierres précieuses.  Il y a 2.300 ans, Euclide a démontré qu’il existait une infinité de ces « briques élémentaires » de l’arithmétique. La démonstration de ce résultat est considérée comme la première démonstration par l’absurde.

Supposons qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers, ils sont donc tous plus petits qu'un certain entier n. Tout entier supérieur à n serait donc divisible par un nombre premier inférieur à n. Or le nombre (2*3*…*n) + 1 n'est divisible par aucun des entiers de 2 à n puisque le reste de la division est toujours 1 : ceci contredit la phrase précédente.

Cela veut dire que l’on pourra toujours trouver de nouveaux nombres premiers. La seule limite réside aujourd’hui dans la puissance de calcul des ordinateurs.

            Les nombres premiers et leurs puissances sont dits nombres primaires. Ils sont tous déficients.

.           Après l’école grecque, il y a une longue période noire qui va jusqu’à la fin du XVI^e siècle. Des nombres particuliers ont été « inventés » au début du XVIIe siècle par un moine mathématicien français, Marin Mersenne (1588-1648). Ils sont formés en multipliant le chiffre 2 par lui-même un certain nombre de fois, puis en retranchant 1 au résultat. On les note ainsi (2ⁿ - 1). Un nombre de Mersenne, Mn = 2ⁿ -1, ne peut être premier que si « n » est premier. Mais la réciproque est fausse : si « n » est premier, le nombre de Mersenne « Mn » n’est pas nécessairement premier. Le plus petit contre-exemple est M11 =  2¹¹-1 = 2047 = 23×89.

.            Le suisse Euler (1707-1783) et l’allemand Gauss (1777-1855), deux des plus grands mathématiciens de tous les temps, avaient bien compris l'importance en arithmétique des nombres premiers, car tout nombre se décompose de façon unique en produit d'un ou de plusieurs facteurs premiers (150 = 2 x 3 x 5 x 5), ainsi que leur mystère, car nulle règle ne semble gouverner les écarts et donc la succession des nombres premiers.

Le crible d’Ératosthène

.            On ne connaît aucune propriété simple (autre que celle qui les définit) que satisferaient les nombres premiers. On ne peut donc les déterminer, du moins jusqu'à aujourd'hui (!), à l'aide d'une formule ou d'une équation mathématique, mais uniquement par le calcul. En dehors de ne pas être divisibles, les nombres premiers semblent avoir un comportement complètement chaotique. Seul le calcul

.            Ératosthène était un astronome, géographe, philosophe et mathématicien grec du III e siècle av. J. -C. (né à Cyrène, dans l’actuelle Shahhat en Libye) vers 276 av J.C. Le crible d’Ératosthène consiste à écrire tous les nombres d’un intervalle donné, puis à éliminer méthodiquement les multiples des nombres premiers successifs déjà connus, en s’arrêtant à la racine carrée de la borne supérieure de l’intervalle. Les nombres restants sont les nombres premiers de l’intervalle.

.            On peut ainsi déterminer, "relativement facilement", mais non sans peine, qu'il y a 78.948 nombres premiers plus petits que 1 000 000.

.            On a récemment utilisé le crible d’Eratosthène pour étudier les écarts entre les nombres premiers. À cette occasion, on a appliqué le crible par tranches de 10¹⁰ : après avoir sauvé les informations désirées, on effaçait les résultats du calcul de chacune des 100.000 tranches (sauf la première) afin de traiter la suivante.

Si, au lieu de les effacer, on avait sauvé à chaque fois les résultats intermédiaires, on aurait disposé de la table des 29.844.570.422.669 nombres premiers inférieurs à 10¹⁵. Le stockage de cette table aurait nécessité une mémoire de 20.10¹⁰ octets, soit plus de 30.000 CD-ROM de 650 mégaoctets chacun, ou plus de 1.000 DVD double-face double-couche de 17 gigaoctets chacun (les DVD de plus grande capacité aujourd’hui). Il est clair que pour connaître des nombres premiers de 20 chiffres ou plus ou pour factoriser des entiers de cette taille, le crible d’Ératosthène ne convient pas.

Constituer de très grandes tables de nombres premiers est impossible — à cause de la mémoire nécessaire — et inutile, car on dispose d’autres méthodes pour connaître la primalité : il vaut mieux recalculer que stocker. Aujourd’hui, on sait tester si un nombre entier quelconque de 100 chiffres est premier, alors qu’un ordinateur de la taille du Système solaire ne suffirait pas à stocker la table de tous les nombres premiers inférieurs à 10¹⁰⁰.

Le plus grand nombre premier

.            L'histoire du plus grand nombre premier commence à la fin du XVIe siècle, en 1588, avec le mathématicien italien Pietro Cataldi qui énonce que le nombre de Mersenne 2³¹ - 1 = 2.147.483.647 est premier. Et encore n’est-t-on pas certain qu’il l’ait calculé ; mais près de 200 ans plus tard Euler a prouvé qu’il était effectivement premier.

Le record suivant est obtenu un siècle plus tard : le parisien Fortuné Landry prouve en 1867 que (2⁵⁹ - 1)/179.951 = 3.203.431.780.337 est premier. Ce record doit être remarqué, car le nombre premier trouvé par Landry n'est pas un nombre de Mersenne. De tous les nombres record qui ne sont pas des nombres de Mersenne, c'est celui qui a tenu le plus longtemps : neuf ans.

Le mathématicien français Edouard Lucas propose un nouveau test de primalité pour les nombres de Mersenne. En appliquant sa méthode, Lucas trouve en 1876 le nombre premier de Mersenne suivant :

M¹²⁷ = 2¹²⁷ - 1 = 170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727

Ce nombre de 39 chiffres restera le plus grand nombre premier connu jusqu'en 1951.

.            Désormais l'histoire du plus grand nombre premier sera celle des progrès dans les méthodes, plutôt que celle de l'obstination de calculateurs prêts, pour un record, à effectuer des suites d'opérations de plus en plus longues et pénibles. Commence alors le temps des machines électroniques. Depuis leur apparition dans les années 1940, les records de calcul se succèdent au rythme des progrès techniques (rapidité, fiabilité et puissance des circuits), mais aussi grâce à des innovations dans les algorithmes mathématiques de manipulation des grands nombres et grâce à une meilleure maîtrise des langages de programmation.

.            Dès 1949, le mathématicien M. Newman a tenté de trouver des nombres de Mersenne premiers en utilisant l'un des premiers ordinateurs, la machine de Manchester, dotée d'une mémoire de 1.024 chiffres binaires (128 octets !). Cette machine fut mise au point en 1948-1949 par l'équipe qui avait conçu Colossus, l'ordinateur grâce auquel les Britanniques étaient parvenus à déchiffrer de nombreux messages secrets allemands pendant la Seconde guerre mondiale. Le grand mathématicien et logicien Alan Turing, qui avait participé au projet Colossus, améliora le programme de Newman, mais cette collaboration n'aboutit pas à la découverte d'un nouveau nombre de Mersenne premier.

La machine de Manchester en juin 1949. Le premier programme qui y fut exécuté chercha des nombres premiers de Mersenne. © DP

En 1951, J. C. P. Miller et D. J. Wheeler s'engagent dans la course aux nombres premiers à l'aide de l'ordinateur Edsac, qui, avec sa mémoire de 5 kilo-octets, est moins puissant que nos calculatrices de poche mais néanmoins calcule que le nombre 180 x (2¹²⁷ - 1)² + 1, qui s'écrit avec 79 chiffres, est premier.

Ce nombre n'a gardé le titre de « plus grand nombre premier connu » que peu de temps. L'année suivante, le 9 octobre 1952, Raphaël Robinson prouve avec un ordinateur Swac que le nombre de Mersenne (M^2.281) est premier.

La plaque d'immatriculation de Landon Noll, l’informaticien californien qui a découvert en 1979 le 26e nombre premier record de Mersenne, M^23.209, qui s’écrit avec 6.987 chiffres !

En 2013, le plus grand nombre premier connu faisait plus de 17 millions de chiffres. Il aura fallu près de deux ans pour le détrôner. Début janvier 2016, Dr Curtis Cooper, professeur à l’University of Central Missouri a calculé un nouveau mastodonte de 22 millions de chiffres. Si on l’imprimait de telle façon que chaque chiffre qui le compose fasse un millimètre de large, l’ensemble ferait 22 km de long !

En janvier 2016, c’est en multipliant 74.207.281 fois le chiffre deux par lui-même que l’on a obtenu l’antépénultième né : 2^74.207.281 -  1.

Le 26 décembre 2017, J. Pace, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser, du Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) annoncent la découverte d’un nouveau nombre premier : 2^77.232.917 - 1. C'est le 50e nombre de Mersenne, qui comporte 23.249.425 chiffres, écrit en base 10, soit près d'un million de chiffres supplémentaires par rapport à l'ancien record (janvier 2016). Un document word écrit en Times New Roman, avec une taille de police de 10 et les marges classiques, représenterait 3.845 pages.

Depuis décembre 2018, le plus grand nombre premier connu est : 2^82.589.933 – 1. C’est le 51e nombre de Mersenne premier. Il comporte 24.862.048 chiffres lorsqu'il est écrit dans notre base 10. Il a été découvert le 07 décembre 2018 par le Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), et confirmé le 21 décembre 2018. Grâce à l’algorithmique de Lucas, 39 jours de calcul ont suffi à l’ordinateur de l’université américaine pour vérifier la primalité du nouveau recordman du monde.

.            Depuis 1996, 15 nombres premiers, les plus longs connus à ce jour, ont ainsi été découverts.

Graphique du nombre de chiffres du plus grand nombre premier connu par année, depuis l’avènement de l'ordinateur électronique. L'échelle verticale est logarithmique (la ligne rouge est la courbe exponentielle avec le meilleur ajustement ).

.            La date officielle traditionnelle de la découverte d’un plus grand nombre premier est le jour où le résultat est déclaré. M4253 est réputé ne jamais avoir été le plus grand nombre premier connu parce qu’en 1961, le mathématicien américain Alexander Hurwitz avait lu la sortie d’imprimante à partir de la fin et trouva M4423 quelques secondes avant de voir que M4253 était aussi premier. De même, le nombre de Mersenne précédant M77232917 a vécu une histoire compliquée : l’ordinateur a signalé le résultat au serveur le 17 Septembre 2015, mais un bug a empêché l’envoi de l’e-mail. Le nouveau nombre premier est resté inaperçu jusqu’à la maintenance de la base, c’est-à-dire le 7 janvier 2016.

Décompositions en produit de facteurs premiers

.            N’importe quel nombre s’écrit comme un produit de nombres premiers. Par exemple : 132 = 2 × 2 × 3 × 11. De plus, cette décomposition est unique. C’est ce que l’on appelle le théorème fondamental de l’arithmétique qui était déjà connu en Grèce antique.

1 111 111 = 239 x 4 649

100 = 2 x 2 x 5 x 5

123 456 789 = 3 x 3 x 3.803 x 3.607

1 024 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2¹⁰

65 000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5 x 13 = 23 x 54 x 13

1 515 151 515 151 515 = 3 x 5 x 17 x 73 x 101 x 137 x 5 882 353

23 571 113 171 923 293 137 = 7 x 672 x 151 x 4 967 701 595 369

1 000 000 000 000 000 000 000 001 = 17 x 9 999 999 900 000 001 x 5 882 353

Primorielle

.            Notée n# ou P(n), pour un nombre entier n, c’est le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n.

Par exemple, P(7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210 est une primorielle.

  p                                 P(p)

  2                                     2

  3                                     6

  5                                   30

  7                                 210

11                              2 310

13                            30 030

17                          510 510

19                       9 699 690

23                   223 092 870

29                6 469 693 230

31             200 560 490 130

37          7 420 738 134 810

Distribution des nombres premiers

.            Il n’existe pas de formule simple qui puisse fournir le n-ième nombre premier. Au même moment (1896), mais indépendamment, Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée-Poussin ont montré que cette distribution suit une courbe logarithmique, qui tend donc vers l’infini (p_n ≃ n log(n), le n-ième nombre premier, est du même ordre de grandeur que n log(n)). Ce théorème des nombres premiers ne donne pas de formule pour le n^ieme nombre premier mais donne son comportement « à l’infini ». On peut voir ce résultat comme analogue au fait que l’on est incapable de prévoir le résultat d’un lancer de dé mais dont on sait que lorsque le nombre de lancers augmente la proportion d’une face obtenue quelconque tend vers 1/6.

Le théorème de la raréfaction des nombres premiers (1808) montre qu’à l’infini, la densité des nombres premiers est nulle, et donc qu’ils sont de plus en plus rares !

L’hypothèse de Riemann

;            Démontrer que l’hypothèse de l’allemand Riemann (1826-1866) est vraie relève quasiment de la mission impossible. Elle fait partie des 7 'problèmes du millénaire', ces grands problèmes non résolus sélectionnés en 2000 par l'Institut de mathématiques Clay et mis à prix à un million de dollars. Problème le plus célèbre qui soit, sa difficulté est jugée phénoménale ! David Hilbert, le génial mathématicien allemand (1862-1943), aurait d'ailleurs dit : « Si je devais me réveiller après avoir dormi pendant mille ans, ma première question serait : l'hypothèse de Riemann a-t-elle été prouvée. »

Il ne s'agit pas tant de savoir où sont les nombres premiers, que de voir s'ils se répartissent avec une certaine distribution : comment sont-ils répartis parmi les nombres entiers ?

Elle a été vérifiée numériquement et de manière convaincante jusqu'à des nombres gigantesques : les 10.000 milliards de premières solutions. Mais cette vérification, pour un mathématicien, n'est pas suffisante. Le raisonnement doit apporter la preuve ultime avec une démonstration.

La conjecture de Goldbach

.            Conjecture :  assertion pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration. Tout nombre entier pair plus grand que 2 peut s’écrire comme la somme de deux nombres entiers premiers. Par exemple :  622 = 23 + 599, 23 comme 599 sont des nombres premiers.

D'apparence simplissime, cette proposition que Christian Goldbach a faite, en 1742, dans une lettre à Leonhard Euler, a maintes fois, été tentée d’être prouvée : elle fait partie des plus grands mystères mathématiques. Que cette propriété ait été vérifiée pour tous les nombres pairs jusqu'à 4×1018 est un argument qui laisse accroire que cette conjecture est juste.

Non seulement tout entier pair serait nécessairement somme de deux nombres premiers, mais il le serait de beaucoup de façons différentes. La comète de Goldbach représente graphiquement la quantité de partitions possibles y(n) des nombres pairs successifs (n).

Cette fonction g(E) définit pour tous les entiers pairs E > 2 le nombre de façons différentes dans laquelle E peut être exprimée comme la somme de deux nombres premiers. Par exemple, g(22) = 3, car 22 peut être exprimée comme la somme de deux nombres premiers de trois manières différentes : 22 = 11 + 11 = 5 + 17 = 3 + 19.

.            Grâce à la puissance de la théorie analytique des nombres Harald Helfgott, un mathématicien du CNRS qui travaille à l'Ecole normale supérieure, devrait prochainement annoncer que tout nombre impair plus grand que 5 est la somme de trois nombres premiers, ce qu'on appelle la conjecture de Goldbach ternaire ou conjecture de Goldbach faible. Il renforcerait ainsi un résultat de 1937 dû au mathématicien soviétique Ivan Vinogradov, qui avait montré que tout nombre impair "assez grand" s'écrit comme la somme de trois nombres premiers.

Le capitaine et la pertuisane

.            Cela peut mener à une question mathématico-historique qui peut rappeller le fameux problème que Gustave Flaubert envoya à sa sœur où il lui demandait l’âge du capitaine sans qu'aucune des données de l'énoncé puisse mener à une solution.

Question :

.           Le dernier jour d'un mois de la première guerre mondiale, un obus mit fin aux jours d'un jeune capitaine. Le même jour, dans un pays voisin, un paysan déterrait un pertuisanier, mort dans une grande bataille d'autrefois. Le quantième du mois, multiplié par la longueur en pied de la pertuisane, multiplié par la moitié de l'âge du capitaine, multiplié par le quart du temps (en année) qui séparait ces deux décès est égal à 225.533. On demande l'âge du capitaine.

Réponse :

.           22 ans. Ce problème à l'énoncé étrange consiste à factoriser 225.533, ce qui est laborieux à la main puisque le plus petit facteur est 7. On trouve d'abord : 225.533 = 7 x 32.219. Le second facteur est 11 : 32.219 = 11 x 2.929. Le diviseur 101 est alors en évidence : 2.929 = 29 x 101 d'où la factorisation : 225.533 = 7 x 11 x 29 x 101

Le dernier jour du mois ne peut donc être que le 29, ce qui implique que l'année est bissextile, donc 1916, seule année bissextile de la Grande Guerre. Il est temps de se renseigner sur ce qu'est une pertuisane. Il s'agit d'une lance utilisée par un soldat à pied aux XVe et XVIe siècles. Elle mesure entre 2 et 4 mètres. En évaluant le pied à 30 cm, sa longueur vaut entre 6 et 12 pieds. Vu l'énoncé, elle vaut donc 7 ou 11 pieds. Le quart du temps entre les deux décès ne peut être que 101 et l'âge du capitaine, ne pouvant être 14 ans, est 22 ans et la pertuisane mesure 7 pieds. Le pertuisanier est mort en 1512 donc, probablement à la bataille de Ravenne (victoire française sur la Sainte Ligue qui fut comparée à une défaite, la Lombardie ayant finalement été abandonnée)

Nombres premiers jumeaux

.            En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de deux.

Nombres premiers jumeaux jusqu'à 1000 :

(3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) (71, 73) (101, 103) (107, 109) (137, 139) (149, 151) (179, 181) (191, 193) (197, 199) (227, 229) (239, 241) (269, 271) (281, 283) (311,313) (347, 349) (419, 421) (431, 433) (461, 463) (521, 523) (569, 571) (599, 601) (617,619) (641, 643) (659, 661) (809, 811) (821, 823) (827, 829) (857, 859) (881, 883)

Il y a 8 169 paires de nombres premiers jumeaux plus petits que 1 000 000.

En vertu du  théorème de la raréfaction des nombres premiers, on constate que leur densité diminue, allant de 75% pour les nombres premiers inférieurs à 10,  61,5% pour les nombres premiers inférieurs à 100, jusquà environ 15 % pour 10⁸ (100 000 000), …

Quelques propriétés :

.            Le couple (2, 3) est le seul couple de nombres premiers consécutifs.

En omettant le couple (2, 3), 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers ; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux nombres impairs consécutifs.

Tout couple de nombres premiers jumeaux (à l'exception du couple (3, 5)) est de la forme (6n – 1, 6n + 1) pour un certain entier naturel n. En effet, toute série de trois entiers naturels consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; l'entier qui se trouve entre les deux nombres premiers jumeaux est à la fois ce multiple de 2 et ce multiple de 3, car cela ne peut pas être l'un des nombres premiers.

Alors que la série des inverses des nombres premiers est divergente, la série des inverses de nombres premiers jumeaux est convergente (vers un nombre appelé constante de Brun = ~ 1,902).

La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.

Nombres premiers cousins

.            Deux nombres premiers cousins sont deux nombres premiers qui diffèrent de quatre.

Exemple : 193 est un nombre premier jumeau avec 191 et un nombre premier cousin avec 197. Les nombres premiers cousins inférieurs à 1 000 sont :

(3, 7) (7, 11) (13, 17) (19, 23) (37, 41) (43, 47) (67, 71) (79, 83) (97, 101) (103, 107) (109,113) (127, 131) (163, 167) (193, 197) (223, 227) (229, 233) (277, 281) (307, 311) (313,317) (349, 353) (379, 383) (397, 401) (439, 443) (457, 461) (487, 491) (499, 503) (613, 617) (643, 647) (673, 677) (739, 743) (757, 761) (769, 773) (823, 827) (853, 857) (859, 863) (877, 881) (883, 887) (907, 911) (937, 941) (967, 971)

Il découle de la première conjecture de Hardy-Littlewood que les nombres premiers cousins ont la même densité asymptotique que les nombres premiers jumeaux.

Nombres premiers sexy

.            Deux nombres premiers sexy sont deux nombres premiers qui diffèrent de six. Le terme «sexy» est un jeu de mot basé sur le mot latin pour « six » : sex.

Les couples de nombres premiers sexy inférieurs à 500 sont :

(5,11) (7,13) (11,17) (13,19) (17,23) (23,29) (31,37) (37,43) (41,47) (47,53) (53,59) (61,67) (67,73) (73,79) (83,89) (97,103) (101,107) (103,109) (107,113) (131,137) (151,157) (157,163) (167,173) (173,179) (191,197) (193,199) (223,229) (227,233) (233,239) (251,257) (257,263) (263,269) (271,277) (277,283) (307,313) (311,317) (331,337) (347,353) (353,359) (367,373) (373,379) (383,389) (433,439) (443,449) (457,463) (461,467)

En novembre 2005, le plus grand couple de nombre premiers sexy connu était (p, p+6) pour

p = (48011837012 × ((53238 × 7879#)² - 1) + 2310) × 53238 × 7879# / 385 + 1,

où 7879# est une primorielle. Il est composé de 10 154 chiffres.

Comme pour les nombres premiers jumeaux, il en existe probablement une infinité mais cela n'est pas démontré.

Triplets

.            Comme les nombres premiers jumeaux, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des constellations plus grandes.

Ce sont les triplets de nombres premiers sexys de la forme (p, p+6, p+12).

Les triplets inférieurs à 1 000 sont :

(7,13,19) (17, 23, 29) (31, 37, 43) (47, 53, 59) (67, 73, 79) (97, 103, 109) (101, 107, 113) (151,157, 163) (167, 173, 179) (227, 233, 239) (257, 263, 269) (271, 277, 283) (347, 353, 359) (367, 373, 379) (557, 563, 569) (587, 593, 599) (607, 613, 619) (647, 653, 659) (727, 733, 739) (941, 947, 953) (971, 977, 983)

En avril 2006, le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu était (p, p+6, p+12) pour :

p = (84055657369 × 205881 × 4001# × (205881 × 4001# + 1) + 210) × (205881 × 4001# - 1) / 35 + 1.

Il comporte 5 132 chiffres.

Quadruplets

.            De façon similaire, on peut définir des quadruplets de nombres premiers sexys (p, p+6, p+12, p+18). À l'exception du quadruplet (5, 11, 17, 23), la représentation décimale de p finit forcément par « 1 ».

Les quadruplets inférieurs à 1 000 sont :

(5, 11, 17, 23) (11, 17, 23, 29) (41, 47, 53, 59) (61, 67, 73, 79) (251, 257, 263, 269) (601,607, 613, 619) (641, 647, 653, 659)

En novembre 2005, le plus grand quadruplet de nombres premiers sexy connu était (p, p+6, p+12, p+18) pour :

p = 411784973 × 2347# + 3301

Il comporte 1 002 chiffres.

Quintuplets

.            Comme chaque sixième nombre de la forme 6n - 1 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5,11,17,23,29), et il n'est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.).

Nombre premier de Sophie Germain

.            Un nombre premier « p » est appelé nombre premier de Sophie Germain, noté « G » dans cet article, si « 2p + 1 » est aussi un nombre premier. Le nombre premier résultant (« 2G + 1 »), noté « S », est alors appelé nombre premier sûr.

Ces nombres premiers particuliers ont reçu une signification en raison de la démonstration de Sophie Germain à propos de la véracité du dernier théorème de Fermat pour de tels nombres premiers.

Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, ceci n'a pour le moment pas été démontré.

Les premiers nombres premiers de Sophie Germain sont :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229, 1 289, ...

Les nombres premiers palindromes

.            Un nombre palindrome se lit de droite à gauche et de gauche à droite.

Le nombre 11 est le seul nombre palindrome à deux chiffres qui soit premier : en effet, un tel nombre est de la forme XX, donc multiple de 11. Plus généralement, à l’exception de 11, il n’existe aucun nombre premier palindrome ayant un nombre pair de chiffres.

En revanche, il existe 15 nombres premiers palindromes à trois chiffres :

101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Aucun palindrome n’a pour chiffre des centaines 2, 4, 5, 6 et 8.

Il existe 93 nombres premiers palindromes à cinq chiffres, et 668 à sept chiffres. Parmi ces derniers, mentionnons le quadruplet suivant (chiffre central en gras) :

1878781 — 1879781 — 1880881 — 1881881

Cette suite est remarquable, car elle est composée de quatre nombres premiers palindromes pris dans quatre groupes consécutifs de 1 000 (c’est l’unique cas de ce type). Tous les nombres premiers palindromes de 11, 13 et 15 chiffres ont été calculés par Martin Eibl. Le 9 juin 1998, ceux à 17 chiffres ont été calculés par Carlos Rivera. Ce Mexicain, passionné de nombres premiers, n’est pas un chercheur : il travaille dans l’industrie des céramiques à Monterrey, mais il a trouvé le temps de mettre en place un site Internet où il présente toutes sortes de propriétés et d’énigmes récréatives concernant les nombres premiers palindromes.

Voici quelques-unes des identités amusantes notées par Rivera.

Entre nombres premiers palindromes à trois chiffres :

101 + 131 + 151 = 383

Du même type, avec des palindromes premiers à cinq chiffres :

30103 + 30203 + 30403 = 90709

Plus impressionnante, entre palindromes premiers à 43 chiffres :

+   1000000000000002109952599012000000000000001

+   1000000000000002110000000112000000000000001

+   1000000000000002110025200112000000000000001

=   3000000000000006329977799236000000000000003

Cette égalité est la plus petite possible de sa catégorie (une somme de trois nombres premiers palindromes de 43 chiffres donnant un nombre premier palindrome de 43 chiffres). Toutefois, ce n’est qu’une égalité simple à côté de la suivante, où l’on a utilisé la notation (0)n pour désigner une suite de n zéros consécutifs. Il s’agit cette fois d’une égalité entre nombres premiers palindromes de 191 chiffres (notez que 191 est aussi un nombre premier palindrome) :

+   1 (0)87 132298010892231 (0)87 1

+   1 (0)87 132300858003231 (0)87 1

+   1 (0)87 132301111103231 (0)87 1

=   3 (0)87 396899979998693 (0)87 3

Toujours plus fort (ou plus absurde, selon les goûts), Rivera a découvert que le nombre premier palindrome 71317 s’écrit de trois façons différentes comme somme de nombres premiers consécutifs :

71317 = 2351 + 2357 + ... + 2579 + 2591 (29 nombres premiers consécutifs)

71317 = 10163 + 10169 + 10177 + 10181 + 10193 + 10211 + 10223 (sept nombres premiers consécutifs)

71317 = 14243 + 14249 + 14251 + 14281 + 14293 (cinq nombres premiers consécutifs)

Parmi les identités farfelues, les suivantes, découvertes au sujet du nombre premier palindrome 134757431, semblent miraculeuses. Ce nombre, qui mérite peut-être le titre de « nombre premier palindrome le plus intéressant », peut s’écrire de trois façons différentes comme somme de puissances des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, chacun pris une seule fois :

134757431 = 1⁷ + 2³ + 3⁸ + 4⁵ + 5⁴ + 6² + 7¹ + 8⁹ + 9⁶

134757431 = 1⁷ + 2⁵ + 3⁸ + 4¹ + 5² + 6⁴ + 7³ + 8⁹ + 9⁶

134757431 = 1⁷ + 2⁸ + 3⁴ + 4² + 5³ + 6⁵ + 7¹ + 8⁹ + 9⁶

C’est le seul nombre qui possèderait cette propriété. Il existerait - paraît-il - un autre nombre premier palindrome qu’on peut exprimer de deux façons différentes comme somme de puissances des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9..      

La suite de Belphegor

.            C'est un livre... hors du commun. L’encyclopédie de suites de nombres entiers A Handbook of Integer Sequences, du mathématicien britannico-américain Neil compte aujourd'hui 360.000 séquences et est disponible en ligne.

            3, 5, 17, 257… Quelle est la suite logique de cette séquence de nombres entiers ? Si vous répondez 65537, c’est que vous aurez reconnu le début de la suite des nombres premiers de la forme 2ⁿ+1.

            Parmi les innombrables suites insolites de nombres premiers, on trouve celle de la Bête ou de Belphégor. Il s’agit de la suite des nombres premiers qui ont dans leur écriture 666 se succédant (comme les nombres 6661, 16661, 26669, 46663, 56663, 66601, 66617, 66629, 66643, 66653, 66683, 66697, 76667, 96661, 96667, 106661, 106663, 106669, 116663, 146669, 166601, 166603, 166609, 166613, 166619, 166627, 166631, 166643, 166657, 166667, 166669, 166679, …).